Halaman
Kompetensi Fisika Kelas XI Semester 2119MOMENTUM SUDUT DAN ROTASIBENDA TEGARBAB6Kali ini kita akanbelajar tentang momentum sudutdan rotasi benda tegar.Kita akan mempelajarimomen gaya, momeninersia, dan energi kinetikrotasiJadi, setelah mempelajaribab ini kita dapat memahamikonsep momentum sudut, torsi, danmomen inersia pada rotasi bendategar, serta penerapannya dalamkehidupan sehari-hari.Kita juga belajartentang katrol tetap dangerak menggelinding.Berikutnya kita akanmenghitung kelembaman padabenda-benda homogen.Setelah itu, kitamempelajari titik berat padaberbagai bentuk benda tegar danmacam-macam kesetimbanganbenda tegar.
Kompetensi Fisika Kelas XI Semester 2120GerbangA. Momen GayaMomen gaya merupakan salah satu bentuk usaha dengan salah satutitik sebagai titik acuan. Misalnya anak yang bermain jungkat-jungkit,dengan titik acuan adalah poros jungkat-jungkit.Momen gaya adalah hasil kali gaya dan jarak terpendek arah gariskerja terhadap titik tumpu. Momen gaya sering disebut dengan momenputar atau torsi, diberi lambang τ (dibaca: tau).τ= F.d. . . (6.1)Satuan dari momen gaya atau torsi ini adalah N . m yang setara denganjoule.Pernahkah kamu melihat seorang pemain ice skating yang sedang beraksi? Coba kamuperhatikan gambar di atas! Pada gambar di atas, tampak seorang pemain ice skating yangsedang berputar. Saat ia mulai berputar, ia merentangkan kedua tangannya. Setelah itu, perlahan-lahan ia menekuk tangannya ke arah tubuhnya. Ketika ia melakukan gerakan ini, ia akanberputar semakin cepat. Mengapa demikian? Perubahan kecepatan yang terjadi pada pemaintersebut berhubungan dengan perubahan momentum sudut dan gerakan tangannya.Untuk mengetahui lebih lanjut tentang momentum sudut, pelajarilah materi-materi berikut.Karena pada bab ini akan dibahas tentang rotasi benda tegar beserta besaran-besaran dalamdinamika rotasi seperti momentum sudut, momen gaya, momen inersia, hukum kekekalanmomentum sudut, dan sebagainya.Kata Kunci:Momen Gaya – Momen Inersia – Kelembaman Benda-benda Homogen – TitikBerat – Macam-macam KesetimbanganMomenGayaGambar 6.1 Ketika pemain ice skating melakukan putaran, ia memiliki momentum sudutRep. www.global security.tif
Kompetensi Fisika Kelas XI Semester 2121Momen gaya merupakan penyebab gerak rotasi. Momengaya yang menyebabkan putaran benda searah putaran jarumjam disebut momen gaya positif. Adapun momen gaya yangmenyebabkan putaran benda berlawanan arah denganputaran jarum jam disebut momen gaya negatif.Guna memahami momen gaya secara lebih detail,perhatikan sketsa jungkat-jungkit pada gambar 6.2 di samping!Ketika batang AB diberi gaya pada ujung-ujungnya yaituF1 dan F2 maka batang akan berotasi. Besar momen gaya yang bekerjapada batang bergantung pada besar gaya yang diberikan dan panjanglengan momen. Semakin besar gaya yang diberikan, semakin besar momengayanya.Demikian juga jika lengan momen semakin besar maka semakin besarpula momen gayanya. Lengan momen adalah jarak tegak lurus sumburotasi ke arah gayanya.Pada contoh gambar di atas panjang lengan momen gaya adalah OBdan OA. Jika titik O sebagai titik poros atau titik acuan maka momen gayayang disebabkan oleh gaya F1 dan F2 adalah sebagai berikut:Momen gaya yang disebabkan oleh gaya F1 : τ1 (tau) = + F1.d1Momen gaya yang disebabkan oleh gaya F2 : τ2 = -F2.d2Pada sistem kesetimbangan resultan momen gaya selalu bernilai nol,sehingga dirumuskan: Σ τ= 0Pada permainan jungkat-jungkit saat kondisi setimbang dicapai yaitusaat batang mendatar terhadap bidang datar, dapat diterapkan resultanmomen gaya = nol. Dengan demikian, resultan momen gaya yang bekerjadirumuskan:Σ τ=0-F2 . d2 + F1 . d1=0F1 . d1=F2 . d2. . . (6.2)Pada mekanika dinamika untuk translasi dan rotasi banyakkesamaan-kesamaan besaran yang dapat dibandingkan simbolbesarannya. Adapun analogi gerak translasi dan gerak rotasi, termasukhukum II Newton ditunjukkan dalam tabel berikut.Tabel 6.1 Analogi antara Besaran Translasi dengan Besaran RotasiBOd2d1AGambar 6.2 Skema momen gayapada jungkat-jungkitF2F1KonsepTranslasiRotasiCatatanPosisisθs = rθKecepatanv= dsdtω=Tddtv = rωPercepatana =dvdtα=Zddta= rαGaya resultan, momen kese-Fττ= FtimbanganF =0τ= 0
Kompetensi Fisika Kelas XI Semester 2122KonsepTranslasiRotasiCatatanv = v0+ atω=ω0+αtPercepatan konstans = v0t =12αt2θ=ω0t +12αt2v2= v02+ 2asω2=ω02+ 2αMassa, momen kelembamanmI I=Σmiri2Hukum II NewtonF = maτ= IαUsahaW =ÚF dsW =ÚτdθDayaP = FvP =τωEnergi potensialEp = mgyEnergi kinetikEk=12 mv2Ek=12 Iω2ImpulsI = ÚF dtI = Úτ dtMomentump = m . vL = IωB. Momen Inersia Rotasi Benda TegarBenda tegar adalah benda padat yang tidak berubah bentuk apabiladikenai gaya luar. Dalam dinamika, jika suatu benda tegar berotasi makasemua partikel di dalam benda tegar tersebut memiliki percepatan sudutα yang sama. Momen gaya atau gaya resultan gerak rotasi τ didefinisikansebagai berikut.Apabila sebuah benda tegar diputar terhadap suatu sumbu tetap makaresultan gaya putar (torque, baca torsi) luar terhadap sumbu itu samadengan hasil kali momen inersia benda terhadap sumbu denganpercepatan sudut. Resultan gaya putar dirumuskan sebagai berikut.τ = ΣFiRi sin θiatauτ = (Σmi Ri2) .α. . . (6.3)Σmi R2i disebut momen inersia atau momen kelembaman benda terhadapsumbu putar, yaitu penjumlahan hasil kali massa tiap partikel dalam suatubenda tegar dengan kuadrat jaraknya dari sumbu. Momen inersiadirumuskan sebagai berikut.I = Σmi.Ri2. . . (6.4)Definisi lain dari momen inersia adalah perbandingan gaya resultan(momen) terhadap percepatan sudut. Dengan demikian, momen inersiadapat dirumuskan sebagai berikut.I=WDτ=I.α
Kompetensi Fisika Kelas XI Semester 2123Karena percepatan sudut α merupakan turunan kecepatan sudutterhadap waktu mulai:τ = IZddtDari persamaan-persamaan di atas kita tahu bahwa: τ = ΣF.Rdan τ = I.α, dengan demikian:ΣF.R = I.α. . . (6.5)Percepatan tangensial merupakan percepatan linear a, yaitu per-cepatan singgung tepi roda,a=α.Rα=aR. . . (6.6)Dengan mensubtitusikan persamaan 6.6 ke dalam persamaan 6.5akan memperoleh:ΣF.R = I.aR. . . (6.7)Momen inersia dinyatakan sebagai hasil kali satuan massa dankuadrat satuan jarak. Untuk menghitungnya harus diperhatikan bentukgeometri dari benda tegar homogen.Tabel di bawah ini menunjukkan momen inersia beberapa benda homogen.Tabel 6.2 Momen Inersia Berbagai Benda yang Umum DikenalANoNama BendaLetak SumbuGambarMomen Inersia1.Batang silinderPusatI = 112MA22.Batang silinderUjungI = 13MA23.Pelat segiempatPusatI = 112M (a2 + b2)AAMomenInersiaab
Kompetensi Fisika Kelas XI Semester 21244.Pelat segiempatTepi pusatI = 13Ma25.Silinder beronggaPusatI = 12M (R12 + R22)6.Silinder tipis beronggaPusatI = MR27.Cincin tipisDiameter pusatI = 112M (R2 + w2)8.Silinder pejalPusatI = 12MR29.Silinder pejalDiameter pusatI = 14MR2 + 112MA210.Bola pejalPusatI = 25MR211.Bola beronggaPusatI = 23mR2abR2R1RRwRRAR
Kompetensi Fisika Kelas XI Semester 2125Untuk lebih jelasnya, simaklah contoh soal berikut ini! Kemudiankerjakan pelatihan di bawahnya!Contoh SoalEmpat buah partikel seperti ditunjukkan pada gambar dihubungkan oleh sebuahbatang kaku ringan yang massanya dapat diabaikan. Tentukan momen inersia sistempartikel terhadap poros:a. sumbu A,b. sumbu B.Penyelesaian:Diketahui:m1 = 1 kgm2 = 2 kgm3 = 1 kgm4 = 3 kgDitanyakan: a.IA = . . .?b.IB = . . .?Jawab:a.IA=Σmi.Ri2=m1R12 + m2.R22 + m3R32 + m4R42=1 . 02 + 2 . 22 + 1 . 42 + 3 . 62= 0 + 8 + 16 + 108IA= 132 kg m2b.IB=ΣmiRi2=m1 R12 + m2R22 + m3 R32 + m4 R42=1 . 42 + 2 . 22 + 1 . 02 + 3 . 22= 16 + 8 + 0 + 12IB= 36 kg m2Am11 kg2 mm2m4m3B2 kg1 kg3 kg2 m2 mKerja Mandiri 1Kerjakan soal berikut dengan tepat!1. Empat buah partikel massanya 1 kg, 2 kg, 2 kg, dan 3 kgseperti ditunjukkan pada gambar, dihubungkan olehrangka melingkar ringan jari-jari 2 meter yang massanyadapat diabaikan.a. Tentukan momen inersia sistem terhadap porosmelalui pusat lingkaran dan tegak lurus pada bidangkertas!b. Berapa besar momen gaya yang harus dikerjakanpada sistem untuk memberikan suatu percepatan αterhadap poros tersebut? (α = 4 rads2)A′A3 kg1 kg2 kg2 kg
Kompetensi Fisika Kelas XI Semester 21262. Sebuah sistem yang terdiri atas dua bola dengan massa masing-masing 5 kg dihubungkan oleh sebuah batang kaku yangpanjangnya 1 m. Bola dapat diperlakukan sebagai partikel danmassa batang 2 kg. Tentukan momen inersia sistem terhadapsumbu yang tegak lurus batang dan melalui:a. pusat O,b. salah satu bola.C. Persamaan Lain Gerak Rotasi Benda TegarSetiap benda berotasi pasti memiliki momentum sudut. Dengan carayang hampir sama pada gerak translasi, momentum sudut benda yangberotasi akan memiliki nilai yang sebanding dengan momen inersia dankecepatan angulernya. Dalam dinamika rotasi, jika suatu benda berotasiterhadap sumbu inersia utamanya maka momentum sudut total L sejajardengan kecepatan anguler ω dan selalu searah sumbu rotasi. Momentumsudut (L) adalah hasil kali momen kelembaman I dan kecepatan anguler ω.Momentum sudut dapat dirumuskan sebagai berikut.L = l.ω. . . (6.8)Bagaimana persamaan tersebut diperoleh? Perhatikan gambar 6.3di bawah! Momentum sudut terhadap titik O dari sebuah partikel denganmassa m yang bergerak dengan kecepatan v (memiliki momentum P = mv)didefinisikan dengan perkalian vektor berikut.L = R×PL = R× mvL = mR× vGambar 6.3 Hubungan vektor antarakecepatan sudut dengan momentum sudutpada gerak melingkarLoFrmvLintasanBidang gerakGambar 6.4 Momentum sudut sebuahpartikelLoωrmv90°
Kompetensi Fisika Kelas XI Semester 2127Jadi, momentum sudut adalah suatu vektor yang tegak lurus terhadapbidang yang dibentuk oleh R dan v. Dalam gerak melingkar dengan Osebagai pusat lingkaran, vektor R dan v saling tegak lurus, sehingga:v=ω RL=m R vL=m RωRL=m R2ω. . . (6.9)Jika arah L dan ω adalah sama maka:L=m R2ωatauL=lωDari persamaan sebelumnya kita tahu bahwa:ω =TddtDengan demikian, persamaan 6.9 menjadi:L = m R2TddtL = I TddtMomentum sudut sebuah partikel relatif terhadap titik tertentu,sehingga momentum sudut termasuk besaran vektor. Secara vektor,momentum sudut dapat dituliskan sebagai berikut.L=R×P= m (R ×v). . . (6.10)Jika persamaan 6.10 diturunkan terhadap waktu menjadi:§·§· ̈ ̧ ̈ ̧©¹©¹dddpdtdtdtLRPR=× + × ddtL= (v × mv) + (R × F)ddtL= 0 + (R × F)ddtL= R × FSebelumnya telah disebutkan bahwa: τ = F × R, sehinggaτ =ddtL. . . (6.11)
Kompetensi Fisika Kelas XI Semester 2128Suatu sistem mula-mula mempunyai momentum sudut total ΣL danmomentum sudut total akhir ΣL′. Setelah beberapa waktu, pada sistemtersebut berlaku hukum kekekalan momentum sudut. Peristiwa yangmelibatkan momentum sudut misalnya adalah pada penari balet yangmelakukan gerakan memutar. Perhati-kan gambar 6.5a dan 6.5b!Seorang penari berputar dengantangan terentang. Saat penari tersebutmenarik tangannya lebih dekat ke tubuh,dia berputar lebih cepat tanpa mengguna-kan energi tambahan. Semakin tangan-nya mendekati tubuh, penari berputarsemakin cepat.Momentum sudut total yang bekerjapada penari yang berotasi tetap akanmemiliki konstanta tetap jika torsi totalyang bekerja pada penari sama dengannol. Secara matematis momentum sudutdinyatakan:momentum sudut awal= momentum sudut total akhirΣL=ΣL′L1 + L2=L1′ + L2′Berdasarkan persamaan di atas maka hukum kekekalan momentum sudutdirumuskan sebagai berikut.ΣL=ΣL′L1 + L2=L1′ + L2′I1ω1 + I2ω2 = I1′ω1′+ I2′ω2′Gambar 6.5a Penari me-rentangkan tangan untuk me-lakukan putaran lambatGambar 6.5b Penari ber-sedakap tangan untuk me-lakukan putaran cepatD. Energi Kinetik RotasiPada saat sebuah benda melakukan gerak rotasi maka energi gerakatau energi rotasinya sama dengan energi kinetik atau energi gerak. Jikasebuah benda dianggap mewakili beberapa buah partikel maka energikinetik rotasi dapat dipahami dengan pendekatan berikut ini.Sebuah sistem benda dapat dianggap hanya terdiri atas dua partikelyang massanya m1 dan m2. Sistem tersebut bergerak rotasi dengankecepatan tangensial v1 dan v2, sehingga energi kinetik partikel pertamaadalah 12 m1v12 dan energi kinetik partikel kedua adalah 12 m2v22. Olehkarena itu, energi kinetik sistem dua partikel tersebut adalah:EK = 12m1v12 + 12m2 v22
Kompetensi Fisika Kelas XI Semester 2129Secara umum energi kinetik dalam sistem benda tegar dapat dinyatakandengan persamaan:EK = Σ12mi vi2Apabila terdapat benda tegar yang berotasi terhadap sebuah sumbudengan kecepatan anguler ω maka kecepatan tiap partikelnya adalahvi = ω.Ri. (Ri adalah jarak partikel ke sumbu rotasi)JadiEK=Σ12mi vi2EK=Σ12mi Ri2 ω2EK=12 (ΣmiRi2) ω2EK=12I.ω2karenaL=I.ωmakaEK=12L.ωatauEK=12.IL2Suatu sistem benda tegar berotasi terhadap sebuah sumbu yangmelalui pusat massanya. Jika pada saat yang sama sistem bergeraktranslasi terhadap seorang pengamat maka energi kinetik totalnyaadalahsebagai berikut.EK = 12mv2 + 12I.ω2. . . (6.12)Dalam hal ini hukum kekekalan energi total atau energi mekanik tetapberlaku, yaitu:E = EK + EP = konstan12mv2 + 12I ω2 + mgh = konstan. . . (6.13)
Kompetensi Fisika Kelas XI Semester 2130Untuk memahami lebih jauh tentang hukum kekekalan energi total,cobalah perhatikan contoh soal berikut!Contoh SoalSebuah silinder pejal homogen dengan jari-jari R dan massa m yang berada dipuncak bidang miring, menggelinding menuruni bidang miring seperti tampak padagambar. Buktikanlah bahwa kecepatan linear pusat massa ketika tiba di dasarbidang miring adalah v = 43gh dengan menggunakan:a. hukum kekekalan energi,b. hukum II dinamika rotasi.Penyelesaian:Diketahui:v1= 0ω1= 0Ditanyakan: bukti bahwa v = 43ghJawab:a.EK1+ EP1 = EK2 + EP2(12m v12 + 12I ω12) + mgh1=(12mv22 + 12I ω22) + mgh20 + 0 + mgh=12mv2 + 12 . 12mR2§· ̈ ̧©¹r2v + 0gh=12v2 + 14 . R2 . rvgh=43v2v2=43ghv=gh43(terbukti)b. Hukum II Dinamika RotasiΣF = m.a§· ̈ ̧©¹hm gs. – §· ̈ ̧©¹.m a12 = m.a
Kompetensi Fisika Kelas XI Semester 2131ghs =32aa=32.ghsv2=vo2 + 2 asv2=02 + 2 .23ghs.sv2=43ghv=43gh(terbukti)E. Menghitung Momen Inersia atau KelembamanBenda-Benda HomogenApabila benda homogen yang memiliki momen inersia I diputarterhadap sumbu yang berjarak D dari sumbu pusat massa benda,sehingga kedua sumbu menjadi sejajar maka momen inersia dari bendatersebut akan berubah. Secara matematis momen inersia benda dapatdirumuskan:I = Ipm + m.D2Berikut ini akan ditunjukkan cara menghitung momen inersia dariberbagai benda homogen.1. Batang Homogen (panjang AAAAA, massa m, penampang A)Apabila batang homogen diputar dengan sumbu putar di ujungbatang atau di tengah batang maka momen inersia dapat ditentukandengan cara berikut ini.a. Sumbu putar di ujung batangMomen inersia terhadap sumbu putardi ujung batang (O) yang tegak luruspenampang batang dapat ditentukandengan cara berikut. Perhatikan gambar 6.6di samping!Jika diketahui massa jenis batang padagambar 6.6 adalah ρ = mV = mAAmakauntuk menentukan momen inersianya kitaAAdx0xsumbuGambar 6.6 Momen inersia batang homogendengan sumbu melalui ujung batang
Kompetensi Fisika Kelas XI Semester 2132ambil bagian kecil dx yang jaraknya x dari ujung O. Massa bagianitu adalah sebagai berikut.dm = ρ dVdm = ρ A dxdm = mAAA dxdm = mAdxDengan menggunakan persamaan di atas, momen inersia batangyang diputar dengan sumbu putar di ujung batang dirumuskan:I=³10x2dmI=³10x2 mAdxI=³10mAx2dxI=13mAx3I=13mAA3 – 0I=13mA2. . . (6.14)b. Sumbu putar di tengah batang (pada titik beratnya)Momen inersia batang yang diputar dengan sumbu putar ditengah atau di titik beratnya (z) dapat ditentukan dengan cara berikut.Perhatikan gambar 6.7 di bawah! Pada batang yang diputarterhadap titik beratnya, panjang silinderterhadap sumbu putarnya adalah 12A.Sehingga momen inersia batang adalah:I=³AA1+21-2x2dm+12AGambar 6.7 Momen inersia batang homogenterhadap titik beratnyaAzsumbu–12A
Kompetensi Fisika Kelas XI Semester 2133I=³AA1+21-2mAx2dmI=mA³AA1+21-2x2dmI= mA13x3I=13mA (18A3 + 18A3)I=13mA. 14A3I=112mA3. . . (6.15)Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal berikut!Contoh SoalTentukan momen inersia batang yang berputar pada poros berjarak 14Adari ujung titik 0.Penyelesaian:Diketahui: Sumbu rotasi di 14A.Ditanyakan: I = . . . ?Jawab:I=³AA3+414x dm→dm = mA. dxI=³AA3+414x . mA. dx = mA³AAx dm3+414I=ªº«»¬¼AA x3+431413A14A3+4
Kompetensi Fisika Kelas XI Semester 2134I=mA . 13 . 33ªº§·§ ·«» ̈ ̧ ̈ ̧©¹© ¹«»¬¼AA3144I=mA . 13 . ªº«»¬¼AA33271+6464I=mA . 13 . 2864 . A3I= m . 28192 .A2I= 748m. A2Gambar 6.8 Momen inersiabatang tipis melingkar dengansumbu rotasi melalui pusatlingkaranRsumbuGambar 6.9 Momen inersiabatang tipis terhadap garistengah sebagai sumbu rotasiRsumbu2. Batang Tipis (tanpa tebal) Berbentuk Lingkaran(massam)Batang tipis berbentuk lingkaran atau sering disebut cincin tipisjika diputar dengan sumbu putar melalui pusat lingkaran dan garistengah memiliki momen inersia sebagai berikut.a. Sumbu putar melalui pusat lingkaranMomen inersia terhadap sumburotasi melalui pusat lingkaran dan tegaklurus bidang lingkaran.I = m R2. . . (6.16)b. Sumbu putar melalui garis tengahlingkaranMomen inersia terhadap garistengah sebagai sumbu rotasi sepertigambar 6.9 di samping dirumuskan.I = 12 m R2. . . (6.17)3. Keping (pelat) Berbentuk Lingkaran (massa m)Momen inersia pelat berbentuk lingkaran berbeda dengan batangtipis, meskipun sama-sama berbentuk lingkaran. Pada keping (pelat)berbentuk lingkaran, momen inersianya jika diputar dengan sumbuputar melalui pusat lingkaran dan garis tengah dinyatakan dengan:
Kompetensi Fisika Kelas XI Semester 2135a. Sumbu putar melalui pusat lingkaranMomen inersia terhadap sumburotasi melalui pusat lingkaran dantegak lurus keping seperti padagambar 6.10 di samping adalah:I = 12m R2. . . (6.18)b. Sumbu putar melalui garis tengahlingkaranMomen inersia terhadap garistengah sebagai sumbu rotasi sepertipada gambar 6.11 di samping adalah:I = 14m R2. . . (6.19)Gambar 6.10 Momen inersiakeping lingkaran dengan sumburotasi melalui pusat lingkaransumbuRGambar 6.11 Momen inersiakeping lingkaran dengan sumburotasi garis tengahsumbuR4. Keping Berbentuk SegiempatMomen inersia keping berbentuk segi empat ber-beda-beda jika sumbu putarnya diubah. Keping tipissegi empat dengan panjang a dan lebar b, massa msumbu X sejajar a dan sumbu Y sejajar b, seperti padagambar 6.12 di samping memiliki momen inersiaberikut.Jika keping diputar terhadap sumbu X maka momeninersianya:Ix= 112m b2. . . (6.20)Jika keping diputar terhadap sumbu Y maka momen inersianya:Iy= 112m a2. . . (6.21)Jika keping diputar pada titik beratnya z maka momen inersianya:Iz= 112m. (a2 + b2). . . (6.22)Gambar 6.12 Momen inersia keping segiempat dengan sumbu rotasi pada pusatkepingzYbXa
Kompetensi Fisika Kelas XI Semester 21365. Silinder Pejal HomogenMomen inersia silinder pejal homogen terhadapsumbu silinder sebagai sumbu rotasi seperti padagambar 6.13 adalah:I = 12m R2. . . (6.23)6. Silinder Berongga HomogenMomen inersia silinder berongga homogendengan jari-jari dalam dan luar R1 dan R2 sepertigambar 6.14 jika diputar terhadap sumbu silindersebagai sumbu rotasi akan memiliki momen inersia:I = 12m (R12 + R22). . . (6.24)7. Bola Pejal HomogenSebuah bola pejal dengan massa m dan jari-jariR seperti gambar 6.15 jika diputar melalui sumburotasi garis tengah bola, akan memiliki momen inersia:I = 25mR2. . . (6.25)Gambar 6.15 Momen inersia bola perjalhomogen dengan sumbu rotasi garistengahRsumbuRGambar 6.13 Momen inersia silinderpejal homogen dengan sumbu rotasiadalah sumbu silindersumbuR2Gambar 6.14 Momen inersia silinderberongga homogen dengan sumbu rotasidi pusatR1F.Katrol TetapPenerapan benda tegar yang sering kita gunakan adalah katrol. Katrolyang umumnya berupa silinder pejal homogen memiliki momen inersiasebesar I = 12mR2. Katrol sering digunakan untuk memperinganpekerjaan. Misalnya untuk menarik timba dalam sumur dan menarik bebanpada bidang miring.Pada katrol bekerja gerak translasi dan gerak rotasi. Oleh karenaitu, untuk menentukan gaya-gaya yang bekerja pada katrol, kita harusmenguraikan gaya pada masing-masing gerak translasi dan rotasi. Untuklebih jelasnya perhatikan uraian berikut!
Kompetensi Fisika Kelas XI Semester 21371. Sumbu Dianggap Licin Tanpa GesekanSebuah katrol melakukan gerak rotasi dengan sumbu putar padatitik beratnya. Perhatikan gambar 6.16 di samping! Katrol pada gambar6.16 diberi beban m1 dan m2 pada kedua ujungnya. Jika sumbukatrol dianggap licin tanpa gesekan maka kesetimbangan gayayang bekerja pada sistem katrol tersebut adalah sebagai berikut.Pada gerak translasi beban berlaku:ΣF = m.a+ T1 – m1g = m1a. . . (6.26)+ m2g – T2 = m2a. . . (6.27)Pada gerak rotasi katrol berlaku:τ = I.α(T2 – T1) R = I Ra. . . (6.28)2. Pada Puncak Bidang MiringSebuah katrol terletak pada puncak bidang miring. Katrol tersebutmelakukan gerak rotasi dengan sumbu putar pada titik beratnya.Perhatikan gambar 6.17 di samping! Pada gambar 6.17 antara bendadengan lantai terjadi gaya gesek f. Dengan demikian kesetimbangangaya yang bekerja pada sistem katrol tersebut adalah:Pada gerak translasi beban berlaku:ΣF = m.a+ T1 – m1g sin θ – f = m1a. . . (6.29)+ m2g – T2 = m2a. . . (6.30)Pada gerak rotasi katrol berlaku:Στ = I.α(T2 – T1) R = I Ra. . . (6.31)3. Satu Ujung Talinya Terikat pada Sumbu KatrolSebuah katrol yang salah satu talinya terikat pada sumbu katrolmelakukan gerak rotasi. Perhatikan gambar 6.18! Kesetimbangangaya yang bekerja pada sistem katrol tersebut adalah:m1m2m1gm2gT2mRGambar 6.16 Katrol licintanpa gesekanT1Gambar 6.17 Katrol pada puncak bidangmiringfm1gm2gmRm1g sin θm2m1T2
Kompetensi Fisika Kelas XI Semester 2138Pada gerak translasi beban berlaku:ΣF = m.amg – T = m.a. . . (6.32)Pada gerak rotasi katrol berlaku:τ = I.αT.R = I .Ra. . . (6.33)Untuk lebih jelasnya, pelajari contoh soal berikut! Kemudiankerjakan pelatihan di bawahnya!Contoh SoalGambar 6.18 Katrolyang salah satu talinyaterikat pada sumbu katrolmTm gTPesawat Atwood seperti pada gambar terdiri atas katrol silinder (dianggapsebagai silinder pejal) yang masanya 4 kg. Massa m1 dan m2 masing-masing5 kg dan 3 kg. Jari-jari katrol = 50 cm. Tentukan:a. percepatan beban,b. tegangan tali.Penyelesaian:Diketahui:mk= 4 kgm1= 5 kgm2= 3 kgR= 50 cmDitanyakan: a.a= . . . ?b.T1= . . . ?T2= . . . ?Jawab:a. Tinjau benda m1ΣF = m1.aw1 – T1 = m1.a5 . 10 – T1 = 5 .aT1 = 50 – 5aTinjau benda m2:ΣF = m2.aT2 – W2 = m2.aT2 – 3 . 10 = 3 .aT2 = 30 + 3aTinjau katrolΣ τ = I.αT1.R – T2.R = 12m.R2ram1m2
Kompetensi Fisika Kelas XI Semester 2139T1 – T2 = 12. 4 . 250 – 5a – 30 – 3a= 2a 20 = 10 .aa= 2 m/s2b.T1 = 50 – 5 . 2 = 40 NT2 = 30 + 3 . 2 = 36 NKerja Kelompok 1m1m2Kerjakan bersama kelompokmu!1. Sebuah pesawat Atwood seperti padagambar, terdiri atas katrol silinder licinbermassa 10 kg, beban m1 bermassa 50kg, dan beban m2 bermassa 200 kg. Jikaantara balok m1 dan bidang datar ada gayagesek dengan μ = 0,1 dan percepatangravitasi g = 9,8 m/s, tentukan:a. percepatan sistem,b. gaya tegangan tali.2. Balok A ditarik oleh pemberat B dengan cara seperti pada gambar.Koefisien gesek antara balok A dengan lantai = 0,5. Massa A = m,massa B = 3 m, massa tali dan katrol diabaikan, dan percepatangravitasi g. Tentukan:a. gaya tarik oleh tali,b. percepatan B.Gambar 6.19 (a) Gerak menggelinding dengan gaya F pada sumbunya dan (b) gerak menggelindingdengan gaya pada titik singgungnyaFfFfG. MenggelindingContoh lain penerapan benda yang bergerak rotasi dan translasiadalah gerak menggelinding. Untuk menentukan gaya-gaya yang bekerjapada gerak menggelinding, perhatikan uraian berikut!Menggelinding(a)(b)
Kompetensi Fisika Kelas XI Semester 2140Kesetim-banganH. Kesetimbangan Benda TegarKesetimbangan adalah suatu kondisi benda dengan gaya resultandan momen gaya resultan sama dengan nol. Kesetimbangan benda tegarterjadi pada keadaan benda sebagai berikut.1. Benda yang diam (statis)Contoh: bangunan gedung, jembatan, dan pelabuhan.2. Benda yang bergerak lurus beraturan (dinamis)Contoh: gerak meteor di ruang hampa, gerak kereta api, dan gerakelektron mengelilingi inti atom.Adapun kesetimbangan benda tegar dibedakan menjadi dua, yaitukesetimbangan partikel dan kesetimbangan benda.1. Kesetimbangan partikelPartikel adalah benda yang ukurannya dapat diabaikan dan hanyamengalami gerak translasi (tidak mengalami gerak rotasi).Syarat kesetimbangan partikel adalah:ΣF = 0→ΣFx = 0 (sumbu X)ΣFy = 0 (sumbu Y)2. Kesetimbangan bendaSyarat kesetimbangan benda adalah:ΣFx = 0, ΣFy = 0, Στ = 0Berdasarkan letak gaya yang bekerja pada benda ada dua jenis gerakmenggelinding, yaitu:1. Gerak menggelinding dengan gaya F berada tepat di sumbuGerak menggelinding dengan gaya F berada tepat di sumbuditunjukkan oleh gambar 6.19a. Kesetimbangan gaya yang bekerjapada sistem ini adalah:a. pada gerak translasi berlaku:F – f = m.a. . . (6.34)b. pada gerak rotasi berlaku:f.R = I.α. . . (6.35)dengan α = Ra2. Gerak menggelinding dengan gaya F berada di titik singgungGerak menggelinding dengan gaya F berada di titik singgungditunjukkan oleh gambar 6.19b. Kesetimbangan gaya yang bekerjapada sistem ini adalah:a. pada gerak translasi berlaku :F + f = m.a. . . (6.36)b. pada gerak rotasi berlaku: (F – f) .R = I.α. . . (6.37)
Kompetensi Fisika Kelas XI Semester 2141Momen gaya merupakan besaran vektor yang nilainya samadengan hasil kali antara gaya dengan jarak dari titik poros arah tegaklurus garis kerja gaya. Momen gaya dirumuskan sebagai berikut.τ = F.dPutaran momen gaya yang searah dengan putaran jarum jamdisebut momen gaya positif, sedangkan yang berlawanan putaranjarum jam disebut momen gaya negatif.Momen gaya yang diakibatkan pasangan dua gaya yang samabesarnya dan arahnya berlawanan tetapi tidak segaris kerja disebutmomen kopel. Benda yang dikenai momen kopel akan bergerak rotasiterus-menerus. Untuk menguji pemahamanmu, kerjakan soal berikut!Kerjakan soal berikut dengan tepat!Suatu batang homogen AB memiliki massa 30 kg dan panjang5 meter. Batang tersebut bertumpu pada lantai di A dan padatembok vertikal di B. Jarak dari B ke lantai 3 meter. BatangAB menyilang tegak lurus garis potong antara lantai dantembok vertikal. Berapa besarnya gaya K mendatar yangharus diberikan pada batang di A supaya batang tetapsetimbang? Hitung juga gaya tekan pada A dan B!Kerja Mandiri 2BαKATitik Berat1. Titik BeratTitik berat adalah titik pusat atau titik tangkap gaya berat darisuatu benda atau sistem benda. Titik berat menurut bentuk bendadibedakan menjadi:a. Benda berbentuk partikel massaApabila sistem benda terdiri atas beberapa benda partikel titikyang digabung menjadi satu maka koordinat titik beratnyadirumuskan:Xo = 66m Xm = mX m Xm Xmm m112 23 312 3+++...+++ ...Jadi zo (Xo,Yo)Yo = 66m Ym = mY mY mYmm m112 23 312 3+++...+++ ...
Kompetensi Fisika Kelas XI Semester 2142b. Benda berbentuk garis atau kurvaBenda yang berbentuk garis atau kurva antara lain kabel,lidi, benang, dan sedotan. Apabila sistem benda terdiri atasbeberapa benda garis yang digabung menjadi satu makakoordinat titik beratnya dirumuskan:Xo = 66AAX = AAAAAA11 223312 3+ ++ ...+++ ...XX XJadi zo (Xo,Yo)Yo = 66AAY = AAAAAA11223312 3+++...+++...YY Yc. Benda berbentuk bidang atau luasanBenda yang terdiri atas bidang gabungan maka koordinattitik beratnya dirumuskan:Xo = 66A XA = AX AXAXAA A112 23 312 3+++...+++...Jadi zo (Xo,Yo)Yo = 66AYA = AYA YA YAA A11223312 3+++...+++ ...d. Benda berbentuk volume atau ruangBenda berbentuk volume atau ruang antara lain kubus, balok,bola, kerucut, dan tabung. Apabila sistem benda terdiri atas bidanggabungan benda maka koordinat titik beratnya dirumuskansebagai berikut.1) Benda terbuat dari bahan-bahan yang sama (homogen)Xo = 66VXV = VX V XV XVV V11 223312 3+++...+++...Jadi zo (Xo,Yo)Yo = 66VYV = VY VY VYVV V112 23 312 3+++ ...+++ ...2) Benda terbuat dari bahan-bahan yang berbeda (heterogen)Xo = 66WXW = WX WX WXWW W112 23 312 3+ + + . . .+ + + . . .Jadi zo (Xo,Yo)Yo = 66WYW = WY W YW YWW W11223312 3+ + + . . .+ + + . . .Keterangan:W:mg = ρ.V.g karena S = ρ.g→W = S.Vρ:massa jenis (kg/m3)S: berat jenis (N/m3)
Kompetensi Fisika Kelas XI Semester 2143Berikut ini adalah tabel berbagai titik berat benda teratur.Tabel 6.3 Titik Berat Bentuk Teratur LinearNama BendaGambar BendaLetak Titik BeratKeterangan1. Garis lurusxo = 12Az = titik tengah garis2. Busur lingkaranyo = ABR ABtali busurx busurR = jari-jari lingkaran3. Busur setengahlingkaranyo = S2 RBXoZAAAB0YZRYoAB0YZRYoTabel 6.4 Titik Berat Benda Teratur Berbentuk Luas Bidang HomogenNama BendaGambar BendaLetak Titik BeratKeterangan1. Bidang segitigay0= 13tt= tinggiz= perpotongangaris-garis beratAD & CF2. Jajaran genjangBelah ketupatBujur sangkarPersegi panjangy0 = 13tt= tinggiz= perpotongandiagonal AC danBD3. Bidang juringlingkarany0= 23 ABR ABtali busurx busurR= jari-jari lingkaran4. Bidang setengahlingkarany0 = SR43R= jari-jari lingkaranaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaCBFEyoDZAtaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaCByoDAtaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaZ0ByoYARaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaZXyo0YR
Kompetensi Fisika Kelas XI Semester 2144Tabel 6.5 Titik Berat Benda Teratur Berbentuk Bidang Ruang HomogenNama BendaGambar BendaLetak Titik BeratKeterangan1. Bidang kulitprismaz pada titiktengah garis z1z2y0= 12Az1= titik berat bidangalasz2= titik berat bidangatasA= panjang sisitegak2. Bidang kulitsilinder(tanpa tutup)y0= tA= 2 πR .tt= tinggi silinderR= jari-jari lingkaranalasA= luas kulit silinderyoZ2Z0Z1tyoZ2ZZ13. Bidang kulitlimasT'z = 13T'TT'T= garis tinggiruangZT'T4. Bidang kulitkerucutzT' = 13TT'T T'= tinggi kerucutT'= pusat lingkar-an alas5. Bidang kulitsetengah bolay0= 12RR= jari-jariATZT1BZyoKerja Kelompok 2Kerjakan bersama kelompokmu!1. Buatlah benda luasan berbentuk segitiga siku-siku! Sisi siku-sikunya adalah 18 cm dan 24 cm. Kamu dapat membuatnya darikarton atau triplek.2. Tentukan letak titik berat benda!3. Laporkan hasil kerja kelompokmu kepada guru, kemudiandiskusikan dengan teman-teman sekelasmu.
Kompetensi Fisika Kelas XI Semester 21452. Macam-macam KesetimbanganKesetimbangan dibedakan menjadi 3, yaitu kesetimbangan stabil,kesetimbangan labil, dan kesetimbangan indiferen.a. Kesetimbangan stabil atau mantapKesetimbangan stabil adalah kesetimbangansuatu benda di mana setelah gangguan yangdiberikan pada benda dihentikan, benda akankembali ke posisi kesetimbangan semula.Perhatikan gambar 6.20 di samping! Kese-timbangan stabil dapat dipandang sebagai ke-setimbangan yang dimiliki benda jika gangguanyang dialaminya menaikkan titik beratnya(energi potensialnya).b. Kesetimbangan labil atau goyahKesetimbangan labil adalah kesetimbanganpada suatu benda di mana setelah gangguanyang diberikan atau dialami benda dihentikan,benda tidak kembali ke posisi kesetimbangansemula, bahkan memperbesar gangguan ter-sebut. Perhatikan gambar 6.21 di samping! Ke-setimbangan pada benda dipandang sebagaikesetimbangan yang dimiliki benda itu jikagangguan yang dialaminya menurunkan titikberatnya (energi potensialnya).c. Kesetimbangan indiferen atau netralKesetimbangan indiferen adalah kesetim-bangan pada suatu benda di mana gangguanyang diberikan tidak mengubah posisi benda.Perhatikan gambar 6.22 di samping! Kese-timbangan indiferen dapat dipandang sebagaikesetimbangan yang dimiliki benda jikagangguan yang dialaminya tidak menyebabkan perubahan titikberatnya (energi potensialnya).Gambar 6.20 Kesetimbangan stabilBolaGambar 6.21 Kesetimbangan labilBolaGambar 6.22 Kesetimbangan indiferenBolaRangkuman1. Momen gaya disebut juga sebagai momen putar atau torsi dan diberi lambang τ(baca: tau). Momen gaya dirumuskan dengan:τ = F.d2. Pada sistem kesetimbangan resultan momen gaya selalu bernilai nol, sehinggadirumuskan:Στ = 0
Kompetensi Fisika Kelas XI Semester 21463. Momen inersia atau momen kelembaman benda terhadap sumbu putar yaitupenjumlahan hasil kali massa tiap partikel dalam suatu benda tegar dengan kuadratjaraknya dari sumbu.I = Σmi.Ri24. Momentum sudut (L) adalah hasil kali momen kelembaman I dan kecepatan angulerω. Momentum sudut dapat dirumuskan:L = I.ω5. Hukum kekekalan momentum sudut dapat dituliskan sebagai berikut.I1ω1 + I2ω2=I1’ ω1’+ I2’ ω2’6. Energi kinetik total benda dirumuskan sebagai berikut.EK = 12mv2 + 12I.ω27. Hukum kekekalan energi total atau energi mekanik adalah:E = EK + EP = konstan12mv2 + 12I ω2 + mgh = konstan8. Syarat kesetimbangan partikel adalah:ΣF = 0→ΣFx = 0 (sumbu X)ΣFy = 0 (sumbu Y)9. Syarat kesetimbangan benda adalah:ΣFx = 0, ΣFy = 0, Στ = 0Soal-soal Uji KompetensiA.Pilihlah satu jawaban yang paling tepat!1. Sebuah benda bermassa 3 kg diikatdengan tali pada langit-langit. Berapa-kah tegangan pada tali tersebut? (g =9,8 m/s2)a. 30,0 Nb. 29,4 Nc. 17,0 Nd. 14,7 Ne. 8,5 N2. Sistem pada gambar berada dalamkeadaan setimbang. Berat balok Aadalah 600 N dan koefisien gesekstatis antara balok A dan meja adalah0,2. Berat balok B adalah . . . .30°30°m = 3 kg
Kompetensi Fisika Kelas XI Semester 2147a. 202 Nb. 203 Nc. 40 Nd. 402 Ne. 40 3N3.Perhatikan gambar di atas! PQ adalahsebuah batang homogen denganpanjang 4 m. Batang itu diam padapenopang di R (1 m dari P) dan S (1m dari Q). Jika berat batang 150 N,berapakah minimum gaya ke bawahF yang dikerjakan di Q yang akanmengangkat batang lepas daripenopang di R?a. 50 Nd. 125 Nb. 75 Ne. 150 Nc. 100 N4. Dalam waktu 2 sekon, sebuah rodayang berotasi murni, mengalamiperubahan kecepatan dari 4 rad/smenjadi 20 rad/s secara beraturan.Sebuah titik terletak 30 cm dari porosroda. Besar percepatan tangensialyang dialami titik tersebut adalah . . .m/s2.a. 240d. 2,4b. 26,7e. 0,27c. 4,85. Gambar berikut adalah sebuah batangyang ditarik dengan gaya. Momengaya terhadap titik O adalah . . . .a. 75 Nd. 100 Nb. 503 Ne. 250 Nc. 100 N6. Sebuah bola pejal menggelindingtanpa selip dengan kelajuan tangensialv, jika massa bola pejal 5 kg makaenergi kinetik bola pejal saat meng-gelinding tersebut adalah . . . v2a. 1,0d. 5,0b. 2,5e. 7,5c. 3,57. Massa katrol adalah 2 kgdan besar F = 122newton. Gaya tegangantali T adalah . . . newton.a. 100b. 120c. 122d. 220e. 2428. Sebuah tangga homogen sepanjang10 m, massa 10 kg, bersandar padadinding licin dan lantai kasar. Ujungatas tangga berada 8 meter dari lantai.Bila tangga tepat akan menggeser,besarnya koefisien gesek statis lantaidengan tangga adalah . . . .a. 0,80d. 0,375b. 0,75e. 0,30c. 0,609. Sebuah silinder pejal dengan diameter1 meter berada pada bidang datarkasar. Selanjutnya, silinder didorongtepat pada pusat massanya dengangaya F = 6 kali massa benda. Jikasilinder menggelinding tanpa selip makapercepatan tangensialnya adalah . . .(gaya dan massa bersatuan sesuai SI).a. 1 m/s2d. 4 m/s2b. 2 m/s2e. 5 m/s2c. 3 m/s210. Batang PQ horizontal beratnya 60 Nmenggunakan engsel pada titik P.Pada ujung Q diikat tali bersudut 30oAB30°PRS QF1 m2 m1 mF = 50 N60°AO10 mTFW10 kgF
Kompetensi Fisika Kelas XI Semester 2148ke dinding. (Lihat gambar di bawah!)Jika pada titik Q digantungkan beban40 N maka besar gaya tegangan taliQR . . . .a. 30 Nd. 120 Nb. 35 Ne. 140 Nc. 70 NB.Kerjakan soal-soal berikut dengantepat!1. Pada sebuah batang horizontal ACyang panjangnya 10 m bekerja tigabuah gaya 3 N, 2 N, dan 4 N sepertiterlihat pada gambar. Tentukan:a. resultan dari gaya-gaya tersebut,b. momen gaya yang bekerja padasumbu-sumbu yang melalui A, B,dan C,c. letak titik tangkap gaya resultan-nya.2. Sebuah papan berbentuk empat per-segi panjang ABCD (beratnya diabai-kan) dapat berputar pada bidangnyadi sekeliling titik A sebagai engsel, AB= 4 meter; AD = 3 meter. Persegipanjang itu setimbang karena gaya-gaya yang bekerja pada bidang per-segi panjang ituadalah: K1 = 30 Npada titik C denganarah BC; K2 = 150 Npada titik D denganarah sejajar AC; Kpada titik B denganarah BD.Hitunglah:a. besar gaya K,b. besar dan arah gaya engsel.3. Sebuah batang lurus homogen ABmassanya 10 kg. Ujung A dihubung-kan pada tembok vertikal oleh sebuahengsel, sehingga batang AB dapatberputar pada bidang yang tegak luruspada tembok. Tengah-tengah batangAB dihubungkan dengan tali padatembok. Tali tersebut tegak lurus padatembok dan kencang. Jika batangmembentuk sudut 60° terhadaptembok dan pada ujung B diberi beban30 kg, tentukan:a. diagram gaya-gaya,b. gaya tegangan tali,c. besar dan arah gaya engsel.4. Sebuah bola pejal bermassa 5 kgberada di atas bidang miring kasar,mula-mula dalam keadaaan diam,kemudian menggelinding tanpa selip(jika tg 37o = 34) hitung energi kinetiksetelah bergerak selama 7 sekon!5. Massa A = massa B = 5 kg, jika tg 53°= 43 dan koefisien gesek antara bendaA dan bidang miring 0,2, massa katrol4 kg. Hitung percepatan sistem!40 NRPQABCDKK1K2ABC3 N6m4m4 N2 NA60°BZ30 kgaaaaaaaaaa37o53oBA